Mètro kai olokl rwma Lebesgue. EgqeirÐdio Qr shc. Perieqìmena. Prìlogoc. 1 Mètro Lebesgue sto R. Miqˆlhc Kolountzˆkhc

Transcription

1 Εκδοση 1.1 (21 Οκτ. 2010) Mètro kai olokl rwma Lebesgue. EgqeirÐdio Qr shc. Miqˆlhc Koloutzˆkhc Tm. Majhmatik, Paepist mio Kr thc, Lewfìroc KwsoÔ, Hrˆkleio, kolout T gmail.com Perieqìmea 1 Mètro Lebesgue sto R 1 2 Olokl rwma Lebesgue 3 3 Oi q roi L p () 8 Prìlogoc Sto keðmeo autì perilambôtai merikèc basikèc g seic gia to mètro kai to olokl rwma Lebesgue. Grˆfthke ste a sumperilˆbei tic g seic pou apaitoôtai gia a mporèsou oi foithtèc pou paðrou to mˆjhma <<rmoik ˆlush>> (Pa. Kr thc, Fjiìpwro ) a parakolouj sou èa mˆjhma pou akoloujeð mia fusiologik poreða. H upìjesh ìti oi foithtèc de èqou mˆjei ta tou oloklhr matoc Lebesgue epibˆllei ìlec oi apodeðxeic a gðotai me qr sh tou oloklhr matoc Riema kai mìo. Oi strebl seic pou prokaleð sto mˆjhma autì mia tètoia prosèggish eðai pollèc. Pollˆ jewr mata thc rmoik c ˆlushc de mporoô a apodeiqjoô sth fusiologik touc geikìthta,, kai a mporoô, h apìdeixh eðai aagkastikˆ polô duskolìterh ap' ì,ti a kaeðc gwrðzei to olokl rwma Lebesgue. Mia polô ètoh tètoia perðptwsh eðai ìta pêi kaeðc a apodeðxei tic diˆforec idiìthtec thc suèlixhc dôo oloklhrwsðmw suart sew. EÐai loipì protimìtero, omðzw, oi foithtèc a apokt sou pr ta tic g seic pou apaitoôtai gia a kôu qr sh tou oloklhr matoc Lebesgue, akìmh kai a, lìgw thc èlleiyhc qrìou, de dou tic apodeðxeic tw basik jewrhmˆtw akìmh kai a agooô basikèc èoiec ìpwc h èoia thc metrhsimìthtac suìlw kai suart sew. 1 Mètro Lebesgue sto R E R to mètro (Lebesgue) tou E, pou to sumbolðzoume me m(e) me E eðai mia geðkeush thc èoiac tou m kouc. E = (a, b) eðai diˆsthma tìte fusikˆ to m koc tou eðai Ðso me b a. EÔkola mporeð kaeðc a orðsei to m koc miac peperasmèhc akìmh kai arijm simhc èwshc diasthmˆtw m( (a, b )) = (b a ), a fusikˆ ta diast mata eðai aˆ dôo xèa. Upˆrqou ìmwc polô pio perðploka sôola apì autˆ. O geikìc orismìc tou mètrou eìc suìlou dðdetai èmmesa. PaÐroume ìlec tic kalôyeic tou suìlou E me arijm simec oikogèeiec apì diast mata I : E (a, b ) kai paðroume to ifimum tw posot tw (b a ). (ProkÔptei eôkola ìti me to orismì autì de allˆzei to mètro tw diasthmˆtw.) Gia lìgouc pou de jèloume a perigrˆyoume se autì to keðmeo prokôptei ìti de mporeð kaeðc a orðsei to mètro se ìla ta uposôola tou R kai tautìqroa a perimèei a eðai qr simo. Gia a apokt sei to mètro Lebesgue tic kalèc tou idiìthtec (perigrˆfotai parakˆtw) eðai aparaðthto 1

2 a periorðsoume ta uposôola tou R ta opoða èqou mètro. Th oikogèeia aut tw suìlw gia tw opoðw to mètro mporoôme a milˆme th apokaloôme <<ta metr sima sôola tou R>> kai de prìkeitai a th perigrˆyoume se opoiad pote leptomèreia ektìc apì to a poôme ìti (a) ìla ta sôola ta opoða ja suat soume ja eðai metr sima kai (b) ìti qreiˆzetai arket douleiˆ (kai to legìmeo <<axðwma thc epilog c>>) gia a deðxei kaeðc ìti upˆrqou mh metr sima sôola. pì dw kai pèra ja milˆme mìo gia metr sima sôola qwrðc a to lème kˆje forˆ. Je rhma 1.1 (Idiìthtec tou mètrou Lebesgue) 1. 0 m() gia kaje R. 2. 'Ola ta diast mata (a, b) (aexart twc a ta ˆkra touc eðai mèsa) èqou mètro b a. 3. (MootoÐa) B tìte m() m(b). 4. (Prosjetikìthta) E 1, E 2,... R eðai aˆ dôo xèa tìte m( E ) = m(e ). 5. (Upoprosjetikìthta) E 1, E 2,... R (de zhtˆme a eðai aˆ dôo xèa) tìte m( E ) m(e ). 6. (Ôxousa èwsh suìlw) E E +1 tìte m( E ) = lim m(e ). 7. (FjÐousa tom suìlw) E E +1 kai gia kˆpoio 0 isqôei m(e 0 ) < tìte m( E ) = lim m(e ). 8. (Prosèggish apì pˆw me aoiqtˆ sôola) E R kai ɛ > 0 tìte upˆrqei aoiqtì sôolo G E tètoio ste m(g \ E) ɛ. 9. (Prosèggish apì mèsa me kleistˆ) E R kai ɛ > 0 tìte upˆrqei kleistì sôolo F E tètoio ste m(e \ F ) ɛ. 10. (alloðwto wc proc tic metaforèc) E R, t R kai E + t = {x + t : x E} eðai h <<metaforˆ tou E katˆ t>> tìte m(e + t) = m(e). 11. (OmoiojesÐa) E R, λ R kai tìte m(λe) = λ m(e). λe = {λx : x E} 1.1 podeðxte ìti kˆje arijm simo sôolo E = {x 1, x 2,...} R èqei m(e) = 0. 'Estw ɛ > 0 kai jewreðste th kˆluyh tou E apì ta aoiqtˆ diast mata (x ɛ2, x + ɛ2 ). 1.2 DeÐxte ìti to sôolo tw arr tw tou [0, 1] èqei mètro 1. To sôolo tw rht eðai arijm simo. 2

3 Sqedì patoô: Lème ìti mia prìtash pou exartˆtai apì to x isqôei <<sqedì gia kˆje x>> a isqôei gia ìla ta x ektìc apì èa sôolo exairèsew me mètro 0. Me ˆlla lìgia upˆrqei èa sôolo E me m(e) = 0 tètoio ste h prìtas mac isqôei a x / E. to x eoeðtai tìte lème <<sqedì patoô>>. Gia parˆdeigma, < suˆrthsh χ Q eðai sqedì patoô Ðsh me to 0>> (afoô m(q) = 0). 1.3 DeÐxte ìti to triadikì sôolo Cator èqei mètro 0. To sôolo autì C kataskeuˆzetai wc mia fjðousa tom kleist uposuìlw tou [0, 1] C = E. =0 IsqÔei kat' arq E 0 = [0, 1] kai to kˆje E ftiˆqetai apì to E 1 wc ex c: to E 1 eðai mia peperasmèh èwsh kleist diasthmˆtw. Gia a pˆroume apì to E 1 to E aplˆ afairoôme apì to kˆje èa apì ta diast matˆ tou to mesaðo èa trðto (qwrðc ta ˆkra tou). Gia parˆdeigma E 1 = [0, 1/3] [2/3, 1]. ProkÔptei ìti to sôolo C eðai mh keì, sumpagèc kai mˆlista uperarijm simo (de mporoôme dhl. a grˆyoume ìla ta stoiqeða tou wc mia akoloujða). DeÐxte ìti m(c) = 0. Gia kˆje to sôolo E eðai mia kˆluyh tou C me diast mata. Poio to mètro tou E? 1.4 podeðxte ìti sto Je rhma de mporoôme a paraleðyoume th upìjesh ìti kˆpoio apì ta E èqei peperasmèo mètro. Pˆrte th periptwsh E = (, + ). 1.5 Lème ìti èa sôolo S R eðai tôpou G δ a eðai arijm simh tom aoiqt, a upˆrqou dhl. aoiqtˆ sôola G R tètoia ste S = G. E R deðxte ìti upˆrqei G δ sôolo S E tètoio ste m(s \ E) = 0. QrhsimopoieÐste to Je rhma Olokl rwma Lebesgue To megˆlo meioèkthma tou oloklhr matoc Riema eðai ìti eðai polô euaðsjhto se mikrèc allagèc sth suˆrthsh. Prˆgmati, to olokl rwma Riema orðzetai wc to ìrio tw legìmew Riema ajroismˆtw ta opoða qrhsimopoioô tic timèc thc upì olokl rwsh suˆrthshc se shmeða tou diast matoc. MporoÔme eôkola loipì a <<katastrèyoume>> autˆ ta Riema ajroðsmata peirˆzotac th suˆrthsh sta katˆllhla shmeða, prˆgma pou sðgoura de ja èprepe a èqei epðptwsh sto embadì tou ajroðsmatoc kˆtw apì to grˆfhma thc suˆrthshc. utìc eðai kai o lìgoc pou suart seic pou eðai polô eôkolo a oristoô de èqou olokl rwma Riema. To pio aplì Ðswc parˆdeigma eðai h qarakthristik suˆrthsh tw rht (ìpwc kai aut tw arr tw) thc opoðac ìla ta kˆtw Riema ajroðsmata eðai 0 kai ìla ta ˆw Riema ajroðsmata eðai 1 (sto diˆsthma [0, 1] gia parˆdeigma), kai ˆra de eðai Riema oloklhr simh. IdoÔ ˆllh mða èdeixh tou pìso pio eôqrhsto eðai to olokl rwma Lebesgue se sqèsh me tic timèc thc suˆrthshc se memowmèa shmeða. Ja epitrèpoume apì dw kai pèra stic suart seic a paðrou kai tic timèc + kai autì de ja mac empodðsei, wc epð to pleðsto, a brðskoume to olokl rwmˆ touc. c eðai loipì R = R {, + } oi epektetamèoi pragmatikoð arijmoð kai ac eðai f : R R mia suˆrthsh. Qreiˆzetai ki ed h Ðdia proeidopoðhsh ìpwc kai gia ta metr sima sôola. De eðai duatì a orðsoume to olokl rwma Lebesgue kˆje suˆrthshc, oôte ka kˆje mh arhtik c suˆrthshc. Oi suart seic tw opoðw to olokl rwma orðzoume eðai oi legìmeec <<metr simec>> suart - seic. Kai ed ja epilèxoume a mh poôme sqedì tðpote ˆllo gi' autèc ektìc apì to ìti (a) ìsec suart seic ja suat soume ja eðai metr simec, (b) de eðai eôkolo a kataskeuasteð 3

4 mh metr simh suˆrthsh kai (g) a de up rqa mh metr sima sôola de ja up rqa oôte mh metr simec suart seic. 'Opwc kai me ta sôola ètsi kai me tic suart seic, apì dw kai pèra ìlec oi suart seic gia tic opoðec milˆme ja eðai metr simec eðte to lème autì eðte ìqi. c xeki soume me mia polô apl perðptwsh: f(x) = χ E (x) eðai h qarakthristik suˆrthsh eìc suìlou E (eðai 0 èxw apì to E, 1 mèsa se autì). De èqoume kamiˆ epilog gia to pìso prèpei a eðai to olokl rwma thc f, a fusikˆ jèloume a orðsoume mia posìthta pou a mh atifˆskei me ìsa dh xèroume gia to olokl rwma Riema: f = m(e). epðshc jèloume to olokl rwma a eðai grammikì, a isqôei dhl. (λf + µg) = λ f + µ g, λ, µ R, f, g suart seic tìte xèroume amèswc pwc a orðsoume to olokl rwma Lebesgue gia peperasmèouc grammikoôc suduasmoôc qarakthristik suart sew suìlw: N c j χ Ej = j=1 j=1 N c j m(e j ), (2.1) ìpou c j R kai E j R. O orismìc thc (2.1) de eðai pl rhc a de apodeðxei kaeðc ìti h posìthta pou orðsame wc olokl rwma thc f de allˆzei a grˆyoume th f me diaforetikì trìpo wc peperasmèo grammikì suduasmì qarakthristik suart sew. H apìdeixh aut de eðai dôskolh. Prèpei fusikˆ a eðmaste lðgo prosektikoð me th prosjafaðresh arijm tou R kai a jumìmaste ìti de prosjètoume potè to + me to. Mia ˆllh diaforˆ me th aˆlush ìpwc th xèrame wc t ra eðai ìti sto parapˆw tôpo èa giìmeo tou tôpou 0 eðai pˆta Ðso me Mia suˆrthsh pou eðai peperasmèoc grammikìc suduasmìc qarakthristik suart sew oomˆzetai <pl >> suˆrthsh. DeÐxte ìti mia suˆrthsh eðai apl a kai mìo a to sôolo tw tim pou paðrei eðai peperasmèo. QrhsimopoieÐste ta sôola E v = {x : f(x) = v} ìpou v mia tim pou paðrei h suˆrthsh. 2.2 DeÐxte ìti χ Q = 0. O orismìc tou oloklhr matoc Lebesgue gia mia opoiad pote mh arhtik suˆrthsh f : R R {+ } gðetai qrhsimopoi tac ìlec tic mh arhtikèc aplèc suart seic pou eðai kˆtw apì th f: { f = sup g : 0 g f kai g apl To olokl rwma loipì miac f 0 pˆta upˆrqei allˆ mporeð a eðai kai f g tìte 0 f g }. (2.2) Tèloc, a f : R R eðai opoiad pote suˆrthsh mporoôme a grˆyoume th f wc diaforˆ dôo mh arhtik suart sew f = f + f ìpou f + = max {0, f} kai f = mi {0, f}. (ParathreÐste ìti isqôei f = f + + f.) H grammikìthta mac epibˆllei a orðsoume to olokl rwma miac tètoiac f wc f = f + f, 4

5 kai pˆli bèbaia me th proôpìjesh ìti de èqoume th aprosdiìristh morf (se aut kai mìo th perðptwsh de orðzetai to olokl rwma). t ra h f eðai migadik suˆrthsh, f = u + iv, ìpou u, v eðai pragmatikèc suart seic, orðzoume to olokl rwma thc f (kai pˆli lìgw thc epijumht c grammikìthtac) a eðai f = u + i v. Mèqri t ra èqoume orðsei mìo to olokl rwma miac suˆrthshc pˆw se ìlh th pragmatik eujeða. P c mporoôme a orðsoume to olokl rwma miac suˆrthshc pˆw se èa uposôolo R? PolÔ aplˆ f = χ f me th proôpìjesh fusikˆ ìti to dexð mèloc orðzetai. xðzei ed a aafèroume ìti h katˆstash me to olokl rwma Riema eðai polô diaforetik : mia suˆrthsh eðai Riema oloklhr simh a kai mìo a to sôolo tw shmeðw ìpou eðai asueq c èqei mètro f 0 sto kai f = 0 deðxte ìti f = 0 sqedì patoô sto. = 1, 2,... mporeð to mètro tou suìlou ìpou f > 1/ a eðai jetikì? ParathreÐste ìti {f > 0} = {f > 1/} kai qrhsimopoieðste to Je rhma B kai f : B [0, + ] tìte f B f. Oloklhrwsimìthta. L 1 (). Mia suˆrthsh lègetai <åloklhr simh>> sto R a f <, prˆgmata pou eðai isodôamo me to a isqôei f + <, f <. Gia migadikèc suart seic èqoume to Ðdio orismì oloklhrwsimìthtac (a eðai dhl. f < ). Grˆfoume L 1 () gia to q ro ìlw tw suart sew f : C pou eðai oloklhr simec sto. 2.6 podeðxte ìti kˆje fragmèh suˆrthsh eðai oloklhr simh se kˆje sôolo R me m() <. 2.7 f : [0, + ] eðai oloklhr simh tìte h f eðai peperasmèh sqedì patoô sto. Me ˆlla lìgia m{x : f(x) = } = 0. SugkrÐete th f me th apl suˆrthsh g pou eðai 0 ekeð ìpou h f eðai peperasmèh kai ìpou kai h f. Poio to g kai poia h sqèsh tou me to f? 2.8 (isìthta Markov) 0 f L 1 () kai λ > 0 tìte m{x : f(x) λ} f/λ. E = {x : f(x) λ} tìte f E f E λ. UpologismoÐ. podeikôetai eôkola ìti a h f : [a, b] R eðai sueq c suˆrthsh (se fragmèo diˆsthma) tìte to olokl rwma Riema thc f eðai Ðdio me to olokl rwma Lebesgue. 'Etsi mporoôme a qrhsimopoioôme ìlec tic teqikèc upologismoô pou èqoume mˆjei gia to olokl rwma Riema gia a upologðzoume oloklhr mata Lebesgue sueq suart sew. EpÐshc suqˆ qrhsimopoioôme to, suhjismèo apì to olokl rwma Riema, sumbolismì a f(x) dx b a f atð gia to [a,b] f. EpÐshc isqôei o gwstìc mac tôpoc gia th allag metablht c. φ : [a, b] R eðai sueq c paragwgðsimh kai aôxousa tìte b a f(φ(x))φ (x) dx = d c f(y) dy (2.3) ìpou c = φ(a), d = φ(b). To olokl rwma Lebesgue eðai polô eôqrhsto kurðwc lìgw tw oloklhrwmˆtw sôgklishc, ta opoða mac lèe ousiastikˆ gia to pìte mporoôme a allˆxoume th seirˆ dôo oriak diadikasi. 5

6 Je rhma 2.1 (Je rhma Moìtohc SÔgklishc) f : [0, + ] eðai mia akoloujða mh arhtik suart sew pou eðai moìtoh (wc proc ) f (x) f +1 (x), (x ), kai f(x) = lim f (x) [0 + ] tìte lim f = f. 2.9 f : [0, 1] [0, + ] deðxte ìti 1 0 f(x) dx = lim 1 1/ f(x) dx. Grˆyte f = χ [1/,1] f kai qrhsimopoieðste to Je rhma 2.1. QrhsimopoieÐste to autì gia a upologðsete ta oloklhr mata 1 0 xα dx gia ìlec tic timèc tou α R. Gia poiec timèc tou α eðai h x α sto L 1 ([0, 1])? Gia poiec timèc sto L 1 ([1, ])? 2.10 f : [0, + ] kai f = f (parathreðste ìti to ìrio pˆta upˆrqei sto [0, + ]) tìte a f < èpetai ìti h f eðai sqedì patoô peperasmèh. Poio to olokl rwma thc f? QrhsimopoieÐste kai to Prìblhma c eðai x [0, 1/2] kai 0 l 1/2 tètoia ste l <. DeÐxte ìti h seirˆ χ [x,x+l ](x) sugklðei (se peperasmèo arijmì) sqedì gia ìla ta x [0, 1]. Ti sumperaðete gia th posìthta N(x) = se pìsa apì ta diast mata [x, x + l ] a kei o arijmìc x [0, 1]? QrhsimopoieÐste to Prìblhma To shmatikìtero Ðswc oriakì je rhma gia to mètro Lebesgue eðai to epìmeo. Lème ìti oi f <<kuriarqoôtai>> apì th g. Je rhma 2.2 (Je rhma Kuriarqhmèhc SÔgklishc) 'Estw f, g L 1 () tètoiec ste f (x) g(x) sqedì patoô sto. 'Estw epðshc ìti upˆrqei to ìrio f(x) = lim f (x) sqedì gia kˆje x. Tìte lim f = f Upì tic proôpojèseic tou Jewr matoc 2.2 deðxte ìti isqôei kai f f 0. f f 2 g Kataskeuˆste mia akoloujða f : [0, 1] [0, + ) tètoia ste f (x) 0 gia kˆje x [0, 1] allˆ me 1 0 f +. De ja prèpei fusikˆ a isqôou oi upojèseic tou Jewr matoc 2.2 gia a ta katafèrete. 6

7 2.14 (Suèqeia tou aorðstou oloklhr matoc) f L 1 ([a, b]) kai x 0 (a, b) tìte h suˆrthsh F (x) = x a f(t) dt (pou oomˆzetai aìristo olokl rwma thc f) eðai sueq c sto x 0. h 0 deðxte ìti h posìthta F (x 0 + h ) F (x 0 ) teðei sto 0 qrhsimopoi tac to Je rhma 2.2 gia tic suart seic f = f χ [a,x0 +h ] oi opoðec kuriarqoôtai apì th f f L 1 () kai orðsoume deðxte ìti g 0. g (x) = { f(x) 0 alli c a f(x) 2.16 f L 1 () kai eðai tètoia ste m( ) 0 deðxte ìti f 0. Grˆyte th f sa ˆjroisma tw suart sew f 1 = f χ { f >M} kai f 2 = f χ { f M}, ìpou M > 0 eðai mia parˆmetroc pou epilègetai arketˆ megˆlh. DeÐxte pr ta to zhtoômeo gia th fragmèh suˆrthsh f 2 kai qrhsimopoieðste to Prìblhma 2.15 gia th f 1. Me to olokl rwma Lebesgue aplousteôotai polô ta krit ria pou mac epitrèpou a allˆxoume th seirˆ olokl rwshc se èa diplì (epaalambaìmeo) olokl rwma. De qreiˆzetai proc to parì a aaferjoôme se olokl rwma Lebesgue suart sew pou orðzotai sto R 2. Je rhma 2.3 (Fubii) f : R 2 C kai isqôei f(x, y) dx dy < (2.4) tìte isqôei f(x, y) dx dy = f(x, y) dy dx. (2.5) f : R 2 [0, + ] tìte h (2.5) isqôei qwrðc kamða proôpìjesh (allˆ mporoô fusikˆ kai ta dôo mèlh thc a eðai + ). Ta oloklhr mata (2.4) kai (2.5) pou emfaðzotai sto Je rhma 2.3 eðai epalambaìmea oloklhr mata. Gia parˆdeigma to olokl rwma thc (2.4) eðai to olokl rwma thc suˆrthshc F (y) = f(x, y) dx wc proc y f, g L 1 (R) tìte h suèlix touc orðzetai wc h suˆrthsh f g(x) = f(y)g(x y) dy. (2.6) DeÐxte ìti h suˆrthsh f g eðai kal c orismèh sqedì gia kˆje x R, ìti dhl. sqedì gia kˆje x R h suˆrthsh tou y pou oloklhr oume, h f(y)g(x y), eðai oloklhr simh, isqôei dhl. f(y)g(x y) dy <. Gia ta upìloipa x orðzoume f g(x) = 0. QrhsimopoieÐste to Je rhma 2.3 gia mh arhtikèc suart seic kai deðxte ìti f(y)g(x y) dy dx <. 'Epeita qrhsimopoieðste to Prìblhma 2.7 gia a deðxete to zhtoômeo f, g L 1 (R) deðxte ìti f g L 1 (R) kai mˆlista f g f g. (2.7) 2.19 f L 1 (R) kai g M tìte h f g orðzetai gia kˆje x R apì th (2.6), eðai fragmèh kai mˆlista f g M f podeðxte ìti oi suart seic f g kai g f eðai sqedì patoô Ðsec a f, g L 1 (R). QrhsimopoieÐste to tôpo (2.3) gia mia katˆllhlh allag metablht c kai to Je rhma

8 3 Oi q roi L p () Mèqri stigm c èqoume dei to q ro L 1 (), ìpou R èqei m() > 0, pou apartðzetai apì ìlec tic suart seic f : C pou eðai oloklhr simec, isqôei dhl. gia autèc f <. t ra p [1, ) orðzoume to q ro L p () a apartðzetai apì ìlec tic suart seic f : C gia tic opoðec f p <. H L p ìrma thc f L p () eðai h posìthta f p = ( f p ) 1/p, gia th opoða eôkola blèpoume ìti isqôei λf p = λ f p, gia λ C. Jèloume a qrhsimopoi soume th posìthta d(f, g) = f g p gia a orðsoume mia èoia apìstashc (metrik ) aˆmesa stic suart seic tou L p (). paraðthto loipì eðai a isqôei h <<trigwik aisìthta>> d(f, g) d(f, h) + d(h, g), gia kˆje f, g, h L p (). utì eðai to perieqìmeo tou epìmeou jewr matoc. Je rhma 3.1 (isìthta Mikowski) 1 p < kai f, g L p () tìte isqôei f + g p f p + g p. O kôrioc lìgoc gia to opoðo de exetˆzoume (su jwc) tic timèc p < 1 eðai ìti gia autèc de isqôei h aisìthta tou Mikowski. Tèloc, gia a mporeð a paðxei h posìthta f g p to rìlo thc apìstashc aˆmesa stic f, g L p () prèpei opwsd pote a isqôei kai h suepagwg f g p = 0 f = g. 'Omwc autì de mporeð a isqôsei mia kai mporoôme a parallˆxoume mia tuqoôsa suˆrthsh f L p () se èa sôolo mètrou mhdè, p.q. mporoôme a allˆxoume th suˆrthsh se èa shmeðo, qwrðc a allˆxoume kajìlou ìlec ti oloklhrwtikèc posìthtec pou exart tai apì th f. Pio sugkekrimèa, a f eðai Ðdia me th f ektìc apì èa shmeðo tìte oi dôo suart seic de eðai Ðdiec, afoô oi timèc touc diafèrou se kˆpoia x, allˆ f g p = 0. H mìh mac dièxodoc ed eðai a ago soume tic epousi deic diaforèc aˆmesa se dôo suart seic, jewroôme dhl. dôo suart seic f kai g Ðdiec a diafèrou oi timèc touc mìo se èa sôolo apì x pou èqou mètro 0. ja jèlame a eðmaste lðgo pio austhroð ja orðzame mia sqèsh isoduamðac aˆmesa se suart seic, ìpou dôo suart seic jewroôtai isodôamec a upˆrqei sôolo E, me m(e) = 0, t.. gia x / E èqoume f(x) = g(x). Ta stoiqeða tou q rou L p () eðai klˆseic isoduamðac aut c thc sqèshc isoduamðac pou mìlic orðsame. 3.1 podeðxte ìti h sqèsh pou mìlic orðsame eðai ìtwc mia sqèsh isoduamðac aˆmesa se suart seic. 3.2 podeðxte ìti aut mac h sômbash eðai arket : a f kai g diafèrou stic timèc touc gia x E, me m(e) > 0, tìte f g p > 0, gia kˆje p [1, ). Exetˆste ta sôola E = {x : f(x) g(x) > 1/} kai deðxte ìti kˆpoio apì autˆ prèpei a èqei jetikì mètro. 8

9 Prèpei ed a aafèroume ìti to Je rhma 3.1 eðai suèpeia thc polô shmatik c aisìthtac tou Hölder. Je rhma 3.2 (isìthta Hölder) 1 < p, q < kai 1 p + 1 q = 1 (tètoioi arijmoð p kai q oomˆzotai <<suzugeðc ekjètec>>) tìte, a f L p () kai f L q (), isqôei fg f p g q. (3.1) Eidik perðptwsh (p = q = 2) thc aisìthtac Hölder eðai h pˆra polô shmatik aisìthta Cauchy- Schwarz. Je rhma 3.3 (isìthta Cauchy-Schwarz) f, g L 2 () tìte fg f 2 g 2. Gia a orðsoume kai to q ro L () qreiazìmaste th èoia tou ousi douc supremum miac suˆrthshc, to opoðo eðai, katˆ kˆpoio trìpo, to supremum thc suˆrthshc pou ìmwc de ephreˆzetai apì epousi deic allagèc sth suˆrthsh. Gia a orðsoume loipì to ess sup f, ìpou f mia suˆrthsh orismèh sto, orðzoume kat' arq to sôolo U f = {M R : m{x : f(x) > M} = 0}. utì eðai to sôolo ìlw tou ousiwd ˆw fragmˆtw thc f, tw arijm dhl. M pou h f touc xeperˆ mìo se èa uposôolo tou pedðou orismoô thc pou èqei mètro 0. Tèloc orðzoume ess sup f = if U f a eðai to <álˆqisto>> tètoio ˆw frˆgma. O q roc L () (me m() > 0) eðai o q roc ìlw tw suart sew f : C gia tic opoðec ess sup f <. OrÐzoume tèloc th sup-ìrma ˆpeiro-ìrma thc f f = ess sup f. 'Opwc kai stouc ˆllouc qwrouc L p () ki ed de xeqwrðzoume metaxô touc dôo suart seic pou diafèrou mìo se èa sôolo shmeðw tou pou èqei mètro f, g : C diafèrou mìo se èa sôolo E me m(e) = 0 deðxte ìti ess sup f = ess sup g, kai suep c h ˆpeiro-ìrma tw suart sew sto L () eðai kal c orismèh akìmh ki a gwrðzoume th suˆrthsh mìo sqedì patoô. 3.4 ta p = 1 kai q = jewrhjoô suzugeðc ekjètec deðxte ìti h aisìthta Hölder isqôei ìpwc eðai grammèh sto Je rhma 3.2. DeÐxte epðshc ìti h trigwik aisìthta (Je rhma 3.1) isqôei kai gia p = < m() < kai 1 p 1 < p 2 deðxte ìti L p 2 () L p 1 (). DeÐxte epðshc ìti f p1 f p2 a epiplèo m() = 1. f p 1 = f p1 1. Efarmìste th aisìthta Hölder me ekjètec p 2 /p 1 kai to suzug tou. 3.6 f L p (), me 1 p <, deðxte ìti gia λ > 0 isqôei f p { f λ} f p { f λ} λp. m{x : f(x) λ} f p p λ p. 9

10 GiatÐ èqoume epilèxei aut th oomasða gia to q ro L, èa ìoma tou Ðdiou tôpou me touc q rouc L p, me p <, pou ìmwc eðai q roi pou orðzotai etel c diaforetikˆ, me èa olokl rwma dhlad? Oi q roi L p eðai ìtwc se pollˆ prˆgmata arketˆ diaforetikoð apì to L kai akìmh ki ìta sumperifèrotai parìmoia h apìdeixh gi' autì eðai diaforetik sth perðptwsh tou peperasmèou p ap' ì,ti sth perðptwsh tou L. utì eðai fusiologikì mia kai orðzotai polô diaforetikˆ. H apˆthsh sto er thma thc oomasðac ègkeitai sto Prìblhma 3.5 kai sto Prìblhma 3.7 pou akoloujeð. 3.7 m() = 1 kai f L () deðxte ìti lim p f p = f. 'Estw ɛ > 0 kai E = {x : f(x) (1 ɛ) f }. Tìte m(e) > 0 (alli c to ess sup f ja ta mikrìtero) kai f p ( E f p ) 1/p. pì th aisìthta Mikowski prokôptei ìti oi q roi L p () eðai diausmatikoð q roi kai oi atðstoiqec ìrmec toôc kajistoô parˆllhla kai metrikoôc q rouc. EÐai polô shmatikì ìti autoð eðai pl reic q roi (q roi Baach). 'Oti kai a eðai to sôolo R a f eðai mia sueq c suˆrthsh sto pou èqei sumpag forèa (upˆrqei dhl. peperasmèoc arijmìc R > 0 tètoioc ste h f mhdeðzetai ektìc tou diast matoc ( R, R)) tìte f L p () gia kˆje p [1, + ]. To akìloujo je rhma pukìthtac eðai pˆra polô shmatikì gia tic efarmogèc. Je rhma 3.4 (Pukìthta tw sueq suart sew) R me 0 < m() tìte oi q roi L p () eðai pl reic metrikoð q roi gia 1 p. Gia 1 p < o grammikìc upìqwroc tw sueq suart sew me fragmèo forèa eðai pukìc sto q ro L p (). Dhlad, gia kˆje f L p () kai gia kˆje ɛ > 0 upˆrqei sueq c g : C me fragmèo forèa t.. f g p ɛ. 3.8 podeðxte ìti o grammikìc q roc tw katˆ tm mata stajer suart sew (suart sew pou eðai dhl. peperasmèoi grammikoð suduasmoð qarakthristik suart sew fragmèw diasthmˆtw) eðai pukìc sto q ro L p (R) gia 1 p <. QrhsimopoieÐste th pukìthta tw sueq suart sew me fragmèo forèa (Je rhma 3.4) kaj c kai to ìti kˆje sueq c suˆrthsh se fragmèo kleistì diˆsthma eðai kai omoiìmorfa sueq c. 3.9 DeÐxte ìti a 1 p < kai f L p (R) tìte f( ) f( h) p 0 gia h 0. DeÐxte to pr ta a f eðai sueq c suˆrthsh me fragmèo forèa kai èpeita qrhsimopoieðste to Je rhma (L mma Riema-Lebesgue) f L 1 (R) orðzoume th suˆrthsh (metasqhmatismìc Fourier thc f) f(ξ) = f(x)e iξx dx. (3.2) ParathreÐste ìti to olokl rwma upˆrqei epeid f L 1 (R) kai mˆlista f f 1. DeÐxte ìti lim ξ f(ξ) = 0. DeÐxte to pr ta me ap' eujeðac upologismì sth perðptwsh pou f = χ [a,b], gia < a < b <. QrhsimopoieÐste to gegoìc ìti o metasqhmatismìc Fourier eðai grammik prˆxh gia a to apodeðxete gia katˆ tm mata stajerèc suart seic me fragmèo forèa. 'Epeita qrhsimopoieðste to Prìblhma f L 1 (R) deðxte ìti o metasqhmatismìc Fourier thc f (orðsthke sto Prìblhma 3.10) eðai omoiìmorfa sueq c suˆrthsh. 10

11 f(ξ + h) f(ξ) f(x) e i(ξ+h)x e iξx dx = f(x) e ihx 1 dx. Gia h 0 o 2oc parˆgotac sto olokl rwma sugklðei sto 0 gia kˆje x R. QrhsimopoieÐste to Je rhma Kuriarqhmèhc SÔgklishc 2.2 gia a deðxete ìti to olokl rwma pˆei sto 0. H omoiomorfða wc proc ξ R prokôptei ap' to ìti to frˆgma (pou pˆei sto 0) de exartˆtai apì to ξ. 11